Polynomial Representation of Pictures

In many image processing applications, the discrete values of an image can be embedded in a continuous function. This type of representation can be useful for interpolation, geometrica! transformations or special features extraction. Given a rectangular M x N discrete image (or sub-image), it is shown how to compute a continuous polynomial function that guarantees an exact fit at the considered pixei locations. The polynomials coefficients can be expressed as a linear one-to-one separable transform of the pixels. The transform matrices can be computed using a fast recursive algorithm which enables efficient inversion of a Vandermonde matrix. It is also shown that the least square polynomial approximation with M' x N' coefficients, in the separable formulation, involves the inversion of two M' x M' and N' x N' Hankel matrices. Zu~mmenf~ung. In mehreren Anwendungen der Bildverarbeitung krnnen digitale Bildgrauwerten als Teile ununterbrochenen Funktionen behandelt werden. Diese Darstellung gilt auch fiir Interpolation, geometrische Transformationen oder Ermittlung yon speziellen Formen. In diesem Artikei handelt es sich um die Verrechnung einer ununterbrochenen Polynom Funktion Ffir ein gegebenes rechteckiges digitales Biid, die eine genaue Interpolation in bestimmten Punkten ermfglicht. Die Polynomial Koeffizienten k~innen mit einer iinearen trennbaren Punkttransformation ermittelt werden. Die Transformationmatrizen sind mit einem schnellen rekursiven AIgorithmus erreichbar, mit dem eine Vandermondematrize einfach umgekehrt wird. Es wird auch gezeigt, dass die polynomiale Approximation der kleinsten Quadraten mit M' x N' Koeflizienten, im Fall eines rechtwinkligen Bild, zwei M' x M' and N' x N' Hankel Matrizen Umkehrungen ernrtigt. R ~ m r . Dans beaucoup d'applications du traitement des images, on peut considrrer les valeurs discrrtes d'une image numrrique comme faisant pattie d'une fonction continue. Ce type de reprrsentation peut 8tre utile pour l'interpolation, pour effectuer des transformations gromrtriques ou extraire des proprirtrs locales. I~tant donnre une image (ou sous-image) rectangulaire de dimension M x N donnre sous forme numrrique, on montre comment on peut trouver un polynSme garantissant une interpolation exacte des points de l'image. Les coefficients du polynrme sont obtenus au moyen d'une transformation linraire bijective srparable des points de l'image. Les matrices de cette transformation peuvent ~tre calculres en utiisant un algorithme rrcursif rapide qui permet rinversion efficace des matrices de Vandermonde. Dans un deuxirme temps, on expose comment trouver la meilleure approximation polynSmiale au sens des moindres carrrs avec M ' x N' coefficients darts le cas d'une image rectangulaire, ce qui permet une formulation srparable du problrme. Le rrsuitat comprend notamment l'inversion de deux matrices carrres de Hankel de rang respectivement M' et N'.